Cały dział od zera: co to w ogóle jest ta strzałka, jak się je dodaje, odejmuje, mnoży, jak się nimi dowodzi twierdzeń i jak wjeżdżają w układ współrzędnych. Plus lista miejsc, w których wszyscy się wykładają.
Czytaj po kolei, ale nie klikaj od razu w szare pytania. One są po to, żeby najpierw odpowiedzieć sobie w głowie, a dopiero potem sprawdzić. Jak klikniesz od razu, to twój mózg powie „aha, wiedziałam” i skłamie ci prosto w twarz.
Przy każdej sekcji jest checkbox „ogarnięte”. Zapisuje się w przeglądarce, więc jak wrócisz, widzisz gdzie skończyłaś.
Ta notatka jest po to, żebyś zrozumiała wektory. Zrozumienie zajmuje jakieś trzydzieści minut i jest przyjemne. Umiejętność zrobienia zadania na sprawdzianie, pod presją czasu, przy trochę innym rysunku niż ten w zeszycie, buduje się wyłącznie ręką i tylko na kartce.
To są dwie różne rzeczy i mózg lubi je mylić. Uczucie „przecież to jest banalnie proste, czaję” po przeczytaniu wyjaśnienia jest zerowym dowodem na to, że umiesz. Sprawdzian nie pyta, czy rozumiesz. Pyta, czy potrafisz to zrobić.
Dlatego traktuj to tak: przeczytana sekcja to dopiero połowa roboty. Druga połowa to kartka, ołówek i te same rzeczy zrobione samodzielnie, bez zaglądania. W tekście znajdziesz żółte ramki „zrób to teraz”, a sekcja 18 to gotowy plan ćwiczeń. One nie są opcjonalne, one są całą resztą.
Są w matmie i fizyce dwa gatunki wielkości. Jedne potrzebują tylko liczby: masa 60 kg, temperatura 21 stopni, czas 40 minut. To skalary. I są takie, przy których sama liczba to za mało, bo trzeba jeszcze wiedzieć dokąd: siła, prędkość, przesunięcie. To wektory.
„Przeszłam 500 metrów” to skalar. Twoja mama nadal nie wie, gdzie jesteś. „Przeszłam 500 metrów na północ” to wektor. Teraz wie.
W fizyce mówi się, że wektor ma kierunek, zwrot, wartość i punkt przyłożenia (bo różnica, czy popychasz szafę u góry czy u dołu, jest dość istotna). W matmie na tym etapie punkt przyłożenia traktujemy luźniej, o czym za chwilę.
Wektor zaczepiony to uporządkowana para punktów (A, B). Uporządkowana, czyli kolejność ma znaczenie: AB to nie to samo co BA, tak jak login i hasło to nie to samo, nawet jeśli oba wpisujesz w to samo okienko.
Rysujemy to jako strzałkę od A do B. I tu jest sedno całego działu, więc zapamiętaj to jedno zdanie:
Wektor to nie miejsce. Wektor to przepis na przesunięcie: „trzy kratki w prawo, dwie w górę”.
Każdy niezerowy wektor opisują trzy rzeczy, i tylko te trzy:
| cecha | co to znaczy | tramwajowo |
|---|---|---|
| kierunek | prosta, na której leży wektor (albo dowolna do niej równoległa) | linia numer 4, czyli po jakich torach |
| zwrot | w którą stronę wzdłuż tej prostej | do Wilanowa czy do Marymontu |
| długość (wartość) | ile, czyli |AB| | ile przystanków jedziesz |
W codziennym polskim „kierunek” znaczy dokładnie to, co w matmie nazywa się zwrotem („idę w kierunku szkoły”). W matmie wektory przeciwne mają ten sam kierunek, a różnią się zwrotem. Na kartkówce to jest darmowy punkt dla tych, którzy to czają, i darmowa strata dla reszty.
Tak. Kierunek ten sam (ta sama prosta), zwroty przeciwne. Gdyby dodatkowo miały równe długości, byłyby wektorami przeciwnymi.
Zapis AB czytamy: początek w A, koniec w B. Punkt A to punkt przyłożenia (zaczepienia), B to grot strzałki.
Długość wektora AB to po prostu długość odcinka AB, oznaczamy |AB|. Długość jest zawsze liczbą nieujemną, bo trudno przejść minus trzy metry.
AB bez strzałki to odcinek, |AB| to jego długość, a AB ze strzałką to wektor. Nauczyciel, który uwielbia czerwony długopis, wyłapie brak strzałki natychmiast. Rysuj ją odruchowo, nawet w brudnopisie.
Jeśli początek wektora pokrywa się z jego końcem (A = B), to jest to wektor zerowy 0. Ma długość |0| = 0 i nie ma określonego kierunku ani zwrotu.
Wyszłaś z domu i wróciłaś do domu. Przesunięcie: zero. Pytanie „w którą stronę?” nie ma sensu, bo nigdzie. Wektor zerowy to taki bezruch, który technicznie jest wektorem, ale odmawia odpowiedzi na dwa z trzech pytań.
To nie jest ciekawostka, tylko powód, dla którego w każdym twierdzeniu o równoległości pojawia się słowo niezerowe. Bez tego zastrzeżenia twierdzenia by się sypały.
Dwa niezerowe wektory są równoległe (mówi się też: współliniowe), jeśli leżą na jednej prostej albo na dwóch prostych równoległych. Zapis: u || v.
Zwroty przy tym mogą być zgodne albo przeciwne, kompletnie bez znaczenia. Długości też. Liczy się tylko to, czy „jadą po tych samych torach”.
Zgodnie z tą definicją: nie, bo definicja dotyczy wyłącznie wektorów niezerowych. 0 nie ma kierunku, więc nie ma jak być do czegoś równoległym. (Na studiach robi się z tego wyjątek i mówi, że jest równoległy do wszystkiego. Na razie trzymaj się wersji z zeszytu.)
Dwa niezerowe wektory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam kierunek, ten sam zwrot i tę samą długość.
Zauważ, czego tu nie ma: miejsca. Wektor może stać w zupełnie innej części kartki i nadal być tym samym wektorem. To jest ta rzecz, która na początku wygląda jak oszustwo, a potem okazuje się być całym sensem wektorów.
Ta sama piosenka na Spotify, w twoich pobranych i na płycie mamy w samochodzie. Trzy różne miejsca, jeden utwór. Wektor swobodny to ten utwór, a wektory zaczepione to poszczególne kopie.
Wektor swobodny to zbiór wszystkich wektorów zaczepionych równych danemu wektorowi zaczepionemu. Czyli: bierzesz jedną strzałkę i wszystkie jej kopie ctrl+C ctrl+V rozsiane po płaszczyźnie. Ten cały zbiór to jeden wektor swobodny, zwykle oznaczany u, v, w.
Czworokąt ABCD jest równoległobokiem dokładnie wtedy, gdy AB = DC. Jedna równość wektorów zamiast dwóch warunków „równoległe i równej długości”. Zapamiętaj kolejność liter, bo AB = CD to już inna figura (i zwykle zła odpowiedź).
Nie. Mogą mieć przeciwne zwroty, i wtedy są wektorami przeciwnymi. Potrzeba wszystkich trzech warunków naraz.
Suma wektorów u i v to wektor, którego początkiem jest początek u, a końcem koniec v zaczepionego w końcu u.
Po ludzku: przyklejasz drugą strzałkę do grotu pierwszej, a suma to skrót od startu do mety.
Idziesz 200 m na wschód, potem 150 m na północ. Wektor sumy to strzałka, którą leciałby dron prosto z punktu startu do miejsca, gdzie stoisz. Twoje nogi zrobiły 350 m, dron zrobi 250 m. Nogi i dron się nie kłócą, po prostu mierzą co innego.
To samo, tylko rysowane inaczej: zaczepiasz oba wektory w jednym punkcie, dorysowujesz równoległobok i suma to przekątna wychodząca z tego punktu.
Z reguły trójkąta wynika coś, co będziesz stosować w każdym dowodzie:
AB + BC = AC
Środkowe litery „się skracają”, jak w domino: A→B, B→C, więc razem A→C. Działa dla dowolnie długiego łańcucha: AB + BC + CD = AD. Działa też w drugą stronę, i to jest ta magia: dowolny wektor AC możesz rozbić przez dowolny punkt, jaki ci pasuje: AC = AX + XC, gdzie X wybierasz sobie sama.
1. Rysują oba wektory z jednego punktu i łączą ich końce, twierdząc, że to suma. Nie. Odcinek łączący końce to różnica. Suma to przekątna równoległoboku.
2. Przy regule trójkąta przesuwają drugi wektor byle jak i zmieniają mu przy okazji nachylenie. Przesuwać wolno, obracać nie wolno. Wektor przy przesuwaniu musi zachować kierunek, zwrot i długość.
3. Zapominają, że AB + BA = 0, a nie 2AB.
0. Obszedłaś trójkąt dookoła i wróciłaś do punktu wyjścia, więc wypadkowe przesunięcie jest zerowe. To jest bardzo częste pytanie na sprawdzianie i wygląda groźniej niż jest.
Weź kartkę w kratkę i narysuj u + v dla trzech różnych par: raz gdy wektory są pod kątem, raz gdy są prawie równoległe i raz gdy są przeciwne. Ostatni przypadek zaskakuje ludzi na sprawdzianie, bo suma wychodzi krótsza niż każdy ze składników.
Wektory są przeciwne wtedy i tylko wtedy, gdy ich suma jest wektorem zerowym: u + v = 0, czyli v = -u.
Niezerowe u i v są przeciwne wtedy i tylko wtedy, gdy są równoległe, mają przeciwne zwroty i taką samą długość.
Wektor przeciwny to po prostu cofnij. Ctrl+Z na przesunięciu. Zauważ też, że BA = -AB, czyli zamiana liter to zmiana znaku. Będziesz tego używać w dowodach non stop.
u - v = u + (-v)
Czyli: odjąć wektor to dodać przeciwny. Ale w praktyce szybciej jest tak:
Zaczep u i v w tym samym punkcie. Wtedy u - v to strzałka od końca v do końca u. Grot celuje w to, co stoi pierwsze w odejmowaniu.
Rysują strzałkę różnicy w złą stronę. To najczęstszy błąd w całym dziale, zaraz po myleniu kierunku ze zwrotem. Test bezpieczeństwa: sprawdź, czy v + (u - v) = u zgadza się na twoim rysunku, czyli czy idąc po v, a potem po narysowanej różnicy, faktycznie lądujesz na końcu u. Jeśli tak, dobrze narysowane.
Nie, to wektory przeciwne: ta sama długość, ten sam kierunek, przeciwne zwroty. Odejmowanie wektorów, tak jak odejmowanie liczb, nie jest przemienne. To dokładnie podpunkt b) z twojego zadania 7.173.
Dla jednej pary wektorów narysuj obie różnice: u - v i v - u. Potem sprawdź test bezpieczeństwa z ramki wyżej. To jest dosłownie dwie minuty roboty i jeden z najczęstszych błędów w całym dziale mniej.
Iloczyn niezerowego wektora u i liczby k ≠ 0 to wektor równoległy do u, o długości |k| · |u| i zwrocie:
Dodatkowo umawiamy się, że 0 · u = 0 oraz k · 0 = 0.
Mnożenie przez liczbę to suwak głośności strzałki. k = 3 to trzy razy głośniej, k = 0,5 to ciszej, a k ujemne to odtworzenie klipu od tyłu: ta sama trasa, przeciwna strona.
Dla niezerowych wektorów: u || v wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba k ≠ 0 taka, że v = k · u.
Dzięki temu równoległość zamienia się w równanie. Cała technika dowodów wektorowych stoi na tym jednym zdaniu, więc podkreśl je trzy razy.
1. Piszą, że długość ku to k · |u|. Nie, to |k| · |u|, z wartością bezwzględną. Wektor -3u ma długość 3|u|, a nie minus trzy czegoś.
2. Mnożą wektor przez wektor. W tym dziale nie ma mnożenia wektora przez wektor ani dzielenia przez wektor. Zapis u / v to automatyczne skreślenie.
Długość: |-2/3| · 6 = 4. Zwrot przeciwny do u, bo współczynnik jest ujemny. Kierunek ten sam.
Narysuj jeden wektor u, a obok niego 2u, -u, ½u i -3u. Zmierz linijką, czy długości faktycznie się zgadzają. Oko potrafi kłamać, linijka nie.
Te pięć punktów z zeszytu wygląda strasznie, a mówią jedną rzecz: wyrażenia z wektorami przekształcasz jak zwykłą algebrę.
| prawo | zapis | po ludzku |
|---|---|---|
| przemienność | u + v = v + u | kolejność dodawania bez znaczenia |
| łączność | (u + v) + w = u + (v + w) | nawiasy bez znaczenia |
| łączność mnożenia | k · (lu) = (k · l) · u | liczby przed wektorem się mnożą |
| rozdzielność I | (k + l) · u = ku + lu | wyciągasz wektor przed nawias |
| rozdzielność II | k · (u + v) = ku + kv | wyciągasz liczbę przed nawias |
Innymi słowy: wolno ci mnożyć przez nawias, redukować wyrazy podobne i przenosić na drugą stronę. Twoje zadanie 7.173 to nic innego jak sprawdzenie, że te prawa faktycznie działają na rysunku.
|u + v| ≤ |u| + |v|
Suma długości i długość sumy to dwie różne rzeczy. Równość zachodzi tylko wtedy, gdy wektory mają zgodne zwroty (albo jeden z nich jest zerowy). W każdym innym przypadku jest ostro mniej.
Ścieżka przez trawnik na skos nigdy nie jest dłuższa niż obejście dwoma bokami chodnika. Dlatego wszystkie trawniki w Warszawie mają wydeptane skróty. To jest nierówność trójkąta w wersji terenowej.
„Czy |u| + |v| = |u + v|?" Odpowiedź brzmi na ogół nie, i to jest właśnie ten podpunkt z twojego 7.174, przy którym napisałaś FAŁSZ. Dobrze. Ale na sprawdzianie doklej uzasadnienie: kontrprzykład albo zdanie „równość tylko dla zgodnych zwrotów”.
Jeśli u i v są niezerowe i nierównoległe, to każdy wektor w na płaszczyźnie da się zapisać dokładnie na jeden sposób jako w = au + bv, gdzie a, b to liczby.
To jest to samo co adres w grze: „idź 3 pola wzdłuż tej ściany i 1,5 pola wzdłuż tamtej”. Nie muszą być prostopadłe. Wystarczy, że nie leżą na jednej prostej, bo wtedy z dwóch równoległych wektorów nie ruszysz się nigdy w bok.
Skoro rozkład jest jednoznaczny, to dla nierównoległych u, v:
au + bv = 0 zatem a = 0 i b = 0
To pozwala porównywać współczynniki, dokładnie tak jak przy wielomianach. Jak w zadaniu wyjdzie ci (2a - 1)u + (b + 3)v = 0, to masz układ równań i po zawodach.
Tu wektory przestają być rysowaniem strzałek, a zaczynają być narzędziem. Dowód wektorowy zwykle ma ten sam szkielet:
To jest to twierdzenie z twojego zeszytu. W dowolnym trójkącie ABC niech D będzie środkiem boku AC, a E środkiem boku CB. Wtedy DE || AB oraz |DE| = ½|AB|.
Dowód (ten czysty, trzyliniowy):
DE = DC + CE = ½AC + ½CB = ½(AC + CB) = ½AB
I gotowe. Z DE = ½AB wynika od razu jedno i drugie: skoro jeden wektor jest wielokrotnością drugiego, to są równoległe, a skoro współczynnik to ½, to |DE| = ½|AB|. Dwie tezy za cenę jednej linijki.
Masz tam zapisane 2DE = AB po rozpisaniu przez DA + AB + BE. To działa (to trik z podwojeniem), ale jest dłuższe i łatwiej się w nim pomylić przy znakach. Naucz się wersji trzyliniowej powyżej, bo w niej nie ma czego pokręcić: D to środek, więc DC = ½AC, koniec.
Druga sprawa: pilnuj kolejności liter. DC to nie CD. Jeden zły kierunek i cały dowód wychodzi na minusie.
W równoległoboku ABCD weź S jako środek przekątnej AC. Pokazujesz, że BS = SD, korzystając z AB = DC. Jeśli oba wektory wyjdą równe, to S leży też w środku BD, czyli przekątne przecinają się w swoich środkach.
Punkt przecięcia środkowych trójkąta. Wektorowo: jeśli G to środek ciężkości, to GA + GB + GC = 0. Ładna, symetryczna równość i częsty motyw w zadaniach na dowodzenie. Dzieli każdą środkową w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka.
Dowód wektorowy czyta się w trzydzieści sekund i wygląda na oczywisty. Napisanie go samodzielnie, z pustej kartki, to zupełnie inne doświadczenie i właśnie ono jest sprawdzane na klasówce. Zamknij zeszyt, zamknij to, i odtwórz dowód o odcinku łączącym środki boków. Jeśli utkniesz w pierwszej linijce, to dobra wiadomość: właśnie znalazłaś rzecz, której nie umiesz, a myślałaś, że umiesz.
Do tej pory wszystko było „na rysunku”. Teraz to samo, tylko w liczbach, i nagle zadania robią się mechaniczne. Ta część może jeszcze nie być w zeszycie, ale wjeżdża zaraz i jest najbardziej egzaminowalna z całego działu.
Dla A = (xA, yA) i B = (xB, yB):
AB = [xB - xA, yB - yA]
Czyli koniec minus początek. Zawsze w tej kolejności.
| rzecz | wzór |
|---|---|
| długość | |[a, b]| = √(a² + b²) |
| suma | [a, b] + [c, d] = [a + c, b + d] |
| różnica | [a, b] - [c, d] = [a - c, b - d] |
| mnożenie przez liczbę | k · [a, b] = [ka, kb] |
| równoległość | [a, b] || [c, d] wtedy i tylko wtedy, gdy a·d - b·c = 0 |
| środek odcinka AB | S = ((xA+xB)/2, (yA+yB)/2) |
Przykład na rozgrzewkę: A = (1, 1), B = (5, 4). Wtedy AB = [5-1, 4-1] = [4, 3], a |AB| = √(16+9) = 5. Ładna piątka, bo to trójkąt 3-4-5, ulubieniec wszystkich autorów zadań.
1. Odejmują w złą stronę: xA - xB zamiast xB - xA. Wychodzi wektor przeciwny, czyli zero punktów mimo poprawnego pomysłu. Mnemonik: koniec minus początek, jak zmiana stanu konta: ile jest teraz minus ile było.
2. Mieszają nawiasy. Punkt: A = (2, 3) okrągłe. Wektor: u = [2, 3] kwadratowe. To nie jest zbędna ozdoba, tylko informacja, czy mówisz o miejscu, czy o przesunięciu.
3. Liczą długość bez pierwiastka albo z pierwiastkiem z sumy pierwszych potęg. To Pitagoras: kwadraty, suma, pierwiastek.
AB = [4-(-2), -3-5] = [6, -8]
BA = [-6, 8], czyli wektor przeciwny.
|AB| = √(36+64) = √100 = 10
S = ((-2+4)/2, (5-3)/2) = (1, 1)
Tak: 3·2 - (-6)·(-1) = 6 - 6 = 0. Widać to też gołym okiem, bo [3, -6] = -3 · [-1, 2]. Współczynnik jest ujemny, więc równoległe, ale o przeciwnych zwrotach.
Wymyśl pięć par punktów i dla każdej policz AB, długość i środek odcinka. Bez kalkulatora. To są najtańsze punkty na sprawdzianie i jedyny sposób, żeby ich nie oddać, to mieć te trzy wzory w palcach, a nie w notatkach.
Skoro wektor to przepis na przesunięcie, to można nim przesuwać całe figury. Translacja o wektor u = [a, b] zamienia punkt P = (x, y) na
P' = (x + a, y + b)
Każdy punkt figury jedzie tak samo, więc figura nie zmienia ani kształtu, ani wielkości, ani obrotu. Po prostu ląduje gdzie indziej. To jest izometria, czyli przekształcenie zachowujące odległości.
Przeciągasz naklejkę palcem po ekranie. Nie obracasz jej, nie skalujesz. Wektor to dokładnie ten ruch palca.
Rysunki masz dobre. Ale w każdym z tych trzech zadań siedzi jedna myśl, którą warto z nich wyjąć, bo to ona wraca na sprawdzianie.
Cztery podpunkty: ½u, -2u, 3u, -u. Myśl do zapamiętania: znak decyduje o zwrocie, wartość bezwzględna o długości. Podpunkt d) był podchwytliwy, bo warunek brzmiał v + u = 0, a nie wprost „narysuj -u". Trzeba było najpierw przekształcić.
| para | werdykt | dlaczego |
|---|---|---|
| u+v i v+u | równe | przemienność dodawania |
| u-v i v-u | NIE, są przeciwne | odejmowanie nie jest przemienne |
| 2u-2v i 2(u-v) | równe | rozdzielność |
| 1,5(u+v) i 1,5u+1,5v | równe | rozdzielność |
Czyli trzy na cztery są równe, a jedyny wyjątek to b). Całe zadanie jest o tym jednym wyjątku. Jeśli to zapamiętasz, masz z głowy pół sprawdzianu.
Najpierw przekształć warunek do wygodniejszej postaci: mnożąc przez -2 dostajesz v = -2u. Teraz wszystko widać:
Przy takich zadaniach zawsze najpierw wyznacz jeden wektor przez drugi (v = ku). Potem każde zdanie sprawdzasz jednym spojrzeniem na k: znak daje zwrot, |k| daje stosunek długości. Bez tego kroku ludzie zgadują.
Lista rzeczy, na których realnie leci najwięcej punktów. Przeczytaj ją jeszcze raz na przerwie przed sprawdzianem.
Czytanie o wektorach jest przyjemne i całkowicie niewystarczające. To jest dział, w którym ręka musi wiedzieć wcześniej niż głowa. Poniżej konkretnie, co i w jakiej kolejności.
I jeszcze raz, bo to jest najważniejsze zdanie w całym tym tekście: nawet jeśli po przeczytaniu wszystko powyżej wydaje ci się oczywiste, i tak musisz to porobić na kartce. Zwłaszcza wtedy. Poczucie oczywistości bierze się z tego, że ktoś inny (tu: ja) wykonał za ciebie całą trudną robotę, czyli ułożył to w kolejności i wybrał, co pominąć. Na sprawdzianie dostaniesz surowe zadanie, bez tej pomocy.
Weź dwa dowolne wektory na kratce i narysuj z pamięci, bez zaglądania: u+v, u-v, v-u, 2u-v, -½u+2v. Potem powtórz dla przypadku, gdy u i v są równoległe. To jest ta różnica między „rozumiem” a „umiem”.
Zrób je ponownie zasłaniając swoje rozwiązania. W 7.173 nie wystarczy narysować, dopisz przy każdym podpunkcie jednym zdaniem, które prawo działań to uzasadnia. Na sprawdzianie pytają nie tylko „czy”, ale i „dlaczego”.
Odcinek łączący środki boków umiesz odtworzyć z zeszytu, ale spróbuj napisać go od zera, z zamkniętym zeszytem, a potem zrób dwa podobne: przekątne równoległoboku i odcinek łączący środki ramion trapezu. Jeśli utkniesz na drugim, to znak, że krok „wybierz bazę” jeszcze nie wszedł w krew.
Dziesięć losowych par punktów, dla każdej: AB, |AB|, środek. Do skutku, aż zaczniesz robić to bez myślenia. Tu punkty na sprawdzianie są najtańsze, więc szkoda je oddawać za pomyloną kolejność odejmowania.
Znak, że jesteś gotowa: potrafisz komuś opowiedzieć na głos, czym różni się kierunek od zwrotu i dlaczego DE = ½AB daje od razu dwie tezy. Jeśli w połowie zdania się gubisz, wróć do sekcji 2 i 13.
Odpowiedz w głowie (albo na kartce, lepiej), dopiero potem rozwiń. Uczciwie. Nikt nie patrzy, a oszukiwanie tu jest jak ściemnianie na siłowni: sprzęt cię nie oceni, ale i tak nic nie urośnie.
I pamiętaj, że to jest test na rozumienie, a nie na umiejętność. Nawet komplet dobrych odpowiedzi tutaj nie znaczy, że zrobisz sprawdzian. Znaczy tylko, że jesteś gotowa zacząć ćwiczyć.
Kierunek, zwrot, długość (wartość). Punkt przyłożenia to czwarta rzecz, ale dotyczy wektora zaczepionego, nie swobodnego.
Gdy mają ten sam kierunek, ten sam zwrot i tę samą długość. Miejsce nie ma znaczenia.
Zbiór wszystkich wektorów zaczepionych równych danemu wektorowi zaczepionemu.
0. Łańcuch się domyka: A→B→C→D→A.
Nie. Nie ma ani kierunku, ani zwrotu. Ma tylko długość, równą 0.
AB = DC. Uwaga na kolejność liter.
Są równoległe, mają przeciwne zwroty, a |v| = 4|u|.
Tylko gdy wektory mają zgodne zwroty (są równoległe i skierowane w tę samą stronę), albo gdy jeden z nich jest zerowy.
Różnicę. Odcinek między końcami to u - v albo v - u, zależnie od tego, gdzie postawisz grot. Suma to przekątna równoległoboku, nie ten odcinek.
AB = [-1-3, 2-(-1)] = [-4, 3], |AB| = √(16+9) = 5.
Wybierasz bazę: dwa nierównoległe wektory, zwykle dwa boki z jednego wierzchołka. Potem wyrażasz w nich wszystkie potrzebne wektory, rozbijając je przez wygodne punkty.
Że PQ || RS oraz że |PQ| = 2/3|RS|. Jedna równość wektorowa niesie i równoległość, i stosunek długości.
Tyle. Wektory to jeden z tych działów, które wyglądają na trudne przez pierwsze dwie lekcje, a potem stają się najprostszym narzędziem w całej geometrii. Serio, w drugiej klasie będziesz nimi rozwalać zadania, które bez nich wymagają trzech twierdzeń i strony rachunków.
Przeczytanie tego tekstu zajęło ci pół godziny i nie zmieniło twojej oceny ani o jotę. Zmieni ją dopiero pierwsza kartka zapisana samodzielnie rozwiązanymi zadaniami. Zrób ją dzisiaj, póki wszystko jest świeże, bo za trzy dni pamięć podpowie ci „przecież to rozumiałam” i to będzie prawda, tylko kompletnie bezużyteczna.
kierunek ≠ zwrotkoniec minus początekv = kuwniosek słowami